Análisis de convergencia de un nuevo método de elementos finitos H(div)- conforme para un modelo de bioconvección

Abstract

En este trabajo presentamos y analizamos un método numérico de elementos finitos H(div)-conforme para un modelo de flujos bioconvetivos que describe la hidrodinamica de microorganismos gravitatorios inmersos en un fluido de cultivo viscoso e im- comprensible. El modelo consiste en un sistema tipo Navier-Stokes, para describir la velocidad y la presión del fluido, acoplado a una ecuación de conservación celular para la concentración de microorganismos. El esquema numérico se basa, por un lado, en la técnica de Galerkin discontinuo de penalización interior simétrico y en un enfoque upwind para el termino convectivo no lineal de las ecuaciones de Navier-Stokes. Para la ecuación de concentración se emplea un método de elementos finitos primal estándar/conforme. Se utilizan los espacios de elementos de Brezzi-Douglas-Marini (BDM) de orden k para la velocidad, preservándose asi la condición de incompresibi- lidad del fluido a nivel discreto, elementos discontinuos de orden k−1 para aproximar la presión y los elementos finitos de Lagrange de orden k para la concentración. La existencia y unicidad de los resultados son demostrados rigurosamente tanto para el problema continuo, como para el discreto, haciendo uso de los Teoremas de punto fijo de Schauder y Brouwer, respectivamente, y también se derivan las estimaciones a priori optimas del error de la aproximación.