Nociones de la ecuación de Pell

Abstract

La ecuación de Pell es una ecuación diofántica cuya forma es: 𝑥2 − 𝑑𝑦2 = 1, y como tal, se pide encontrar sus soluciones enteras. El matemático Euler (1707-1783) fue quien atribuyó erróneamente a Jhon Pell un método de solución a este tipo de ecuación. Todo ocurrió después que Euler leyera la obra Opera Mathematica de Wallis. De todas formas, no se posee evidencia que Pell haya considerado la posibilidad de resolver estas ecuaciones. En realidad, había sido método encontrado por otro matemático inglés, William Brouncker (1620-1684), en respuesta a un desafío de Fermat (1601-1665). Pero los intentos de cambiar la terminología introducida por Euler siempre han resultado inútiles. Sería más lógico llamarlas “ecuaciones de Fermat”, puesto que el matemático francés fue el primero en investigar las soluciones no triviales de cada una de éstas o “ecuaciones de Arquímedes” al ser este el primero en plantear implícitamente una ecuación de este tipo y/o simplemente llevar el nombre de Diofanto al ser ésta una ecuación diofántica. Sin embargo, Jhon Pell y esta ecuación pasaron a la historia como la “Ecuación de Pell”. En primer lugar, veremos que son los números triangulares y cuadrados, además de analizar qué relación tienen con las soluciones de una ecuación de Pell. en segundo lugar, nos introduciremos en fracciones continuas, estructura que es útil conocer para encontrar soluciones de la ecuación de Pell, al existir un método que utiliza estas estructuras. Y por últimos nos centraremos en otros métodos para encontrar soluciones de la ecuación de Pell.