Métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Abstract

Investigaremos algunos métodos de resolución de sistema de ecuaciones lineales, centrado en sistemas cuadrado, es decir posee igual número de ecuaciones que de incógnitas. Por lo tanto, vamos a trabajar la resolución de sistemas de ecuaciones de la forma: 𝑎11𝑥1 +𝑎12𝑥2+ … + 𝑎1𝑚𝑥𝑚 = 𝑏1,𝑎21𝑥1 +𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑚𝑥𝑚 = 𝑏2, (1.1) 𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+ … + 𝑎𝑚𝑚𝑥𝑚 = 𝑏𝑚, Donde 𝑎𝑖𝑗 y 𝑏𝑖, para 1 ≤ i, j ≤ m, son números reales dados y siendo 𝑥𝑗 ∈ IR, 1 ≤ j ≤ m, son las m incógnitas. Entonces el sistema (1.1) es por tanto un sistema lineal 𝑚 𝑥 𝑚, es decir, es un sistema cuadrado. Los 𝑎𝑖𝑗 son los coeficientes del sistema (1.1). La formulación del sistema (1.1) se puede reducir a una forma compacta. Utilizando la notación vectorial, llamaremos en particular a los elementos de IR𝑛 como vectores columna, es decir, como matrices 𝑚 𝑥 1 . De la forma: 𝑥= (𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑚) , 𝑏= (𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑚) , Y sea A una matriz 𝑚 𝑥 𝑚 de término general 𝑎𝑖𝑗, es decir A = (𝑎𝑖𝑗) 1 ≤ i, j ≤ m, De esta forma, el sistema lineal (1.1) se escribe: 𝑨𝒙=𝒃 (1.2) Para encontrar la solución del sistema (1.2), utilizaremos los distintos métodos directos, que se estudiarán en esta actividad de titulación. Hay dos clases de métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, son los métodos directos y los métodos iterados. Los métodos directos, permiten calcular la solución exacta del sistema de ecuaciones en un número finito de pasos, si es que no fuera por los errores de redondeo. Por el contrario, los métodos iterados que en general solo conducen a una solución aproximada. En esta actividad de titulación, vamos a estudiar los métodos directos, que consisten en adaptar el sistema (1.2) en otro equivalente siendo su resolución casi inmediata. Esta adaptación se realiza mediante las llamadas operaciones elementales, cuya interpretación de la matriz nos entregara una interesante factorización del sistema. El objetivo es estudiar los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, sus aplicaciones y encontrar los valores del vector x del sistema (1.2) mediante el método que sea más eficiente para la matriz A, estos métodos se estudiarán y explicarán más adelante.