Introducción a la teoría de funciones de variable compleja

Abstract

Los números complejos se introducen en la matemática, para dar sentido a las raíces cuadradas de números negativos. Con esto se abre un nuevo mundo, en donde operatorias que en los números reales no eran posible, sí lo son para los números complejos. Así, este nuevo conjunto se vuelve una herramienta de trabajo para el álgebra, llamada álgebra de los números complejos, con esto se genera una amplia gama de aplicaciones, convirtiéndose este conjunto en una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Estos números son una herramienta esencial en las matemáticas puras y aplicadas; como la aerodinámica, el electromagnetismo y la variable compleja, siendo esta última el análogo del cálculo diferencial e integral, pero con números complejos. Un número complejo es la suma de un número real y un imaginario. Su representación es a través de un plano de dos dimensiones, en donde el eje vertical representa los números imaginarios y el eje horizontal a los reales, es así como cada número complejo es representado por un vector, que posee un módulo y otras propiedades. Pero ese es el inicio de todas las cosas que estos números pueden representar. A través del tiempo, los números complejos han adquirido una gran impor- tancia en la mecánica cuántica (y otras ramas de la física) y las ingenieras, por la utilidad que prestan para representar ondas electromagnéticas y corrientes electrónicas. Dentro de la misma matemática, los números complejos llegaron para facilitar muchos cálculos que antes podían ser muy tediosos. _El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico. Con un mínimo esfuerzo, podemos derivar identidades y fórmulas trigonométricas que requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los métodos usuales. Muchos conceptos de matemática, como el de función, límites, series de potencias y continuidad se estudian de manera bastante natural dentro del ambiente de los números complejos. Los argumentos de prueba son mucho más intuitivos y transparentes en el plano_ Rivero Francisco, 2001. En esta tesis se tratarán los siguientes contenidos, números complejos; su definición; propiedades algebraicas; interpretación geométrica; forma polar y su forma exponencial. También se estudiarán funciones analíticas, sus aplicaciones; además de límite; continuidad y derivadas, ecuaciones de Cauchy-Riemann; funciones analíticas y algunas funciones armónicas. Serán desarrolladas también funciones elementales, como la función exponencial; función trigonométrica; hiperbólica; función logaritmo y alguna de sus ramas; funciones trigonométricas hiperbólica sin versas haciendo énfasis en las propiedades de z.