Sucesiones y series de funciones

Abstract

La matemática es una ciencia intensa, dinámica y cambiante: de manera rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos y aún en su propia concepción profunda, aunque de modo más lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad de abordaje sencillo.1 Por esta razón, tanto el aprendizaje como la enseñanza de la Matemática deben estar enfocados en el desarrollo de las destrezas necesarias para que el estudiantado sea capaz de resolver problemas cotidianos, a la vez que se fortalece el pensamiento lógico y creativo. Una de las ramas de la matemática que ha presentado mayor cambio ha sido el cálculo infinitesimal o simplemente el cálculo. Esto debido a que una gran cantidad de matemáticos fue perfeccionando cada vez cada uno de los objetos matemáticos. Se generó un cambio de paradigma a partir de las investigaciones de Newton y Leibniz, a raíz de las investigaciones se permitió enunciar el teorema fundamental del Cálculo. El cálculo estudia objetos matemáticos como el límite, derivadas, integrales, series infinitas, etc. Abocándonos a las funciones podemos señalar que éstas pueden ser obtenidas como límites de sucesiones de funciones o sumas de series que convergen (a una función). Por lo tanto, a partir de una función se puede realizar el estudio de sucesiones, series de funciones y realizar un análisis de criterios y convergencia de éstas. Las sucesiones y series de funciones son una parte fundamental en la historia del Cálculo Infinitesimal3. Lo primero que se debe tener claro es la diferencia en el concepto de sucesiones y series numéricas ya que se trabajará con ellas más adelante y es importante que el lector tenga una idea clara de cada uno de estos conceptos. Se define a la sucesión de números reales (𝑥𝑛)=𝑥1,2,….,𝑥𝑛. Se definirá la suma parcial n-esima de (𝑥𝑛) como 𝑆𝑛=𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛, en la cual se suman cada uno de los elementos de la sucesión de números reales. A la sucesión de todas las sumas parciales de las sucesiones de números reales se le denomina serie asociada a (𝑥𝑛). Se denota poniendo (𝑥𝑛,Σ). Ejemplo: 𝑥𝑛=1,12,13,14,….1𝑛 𝑠𝑛=1+12+13+14+⋯ 𝑠=Σ𝑥𝑛∞𝑛=1 Ahora que entendemos que es una sucesión y cuáles son sus elementos nos resultará más fácil comprender que en la vida cotidiana se encuentran estos diferentes tipos de sucesiones. Por ejemplo, pensemos en una competición de tenis. Hay siempre un ganador que sale de la competición final en la que han participado los dos finalistas. Para llegar ahí, se han celebrado unas semifinales en las que han participado 2 parejas (en total 4 jugadores). En la etapa anterior han competido 8 tenistas y así sucesivamente, ya que el número de participantes en cada etapa siempre será la mitad que, en la etapa anterior, pues en cada partido se elimina uno de los jugadores. Por esto podemos saber que cada fase está regida por un patrón. Una de las historias más relevantes que involucran la noción de serie es la Paradoja de Aquiles y la Tortuga: “Aquiles, llamado "el de los pies ligeros", guerrero más habilidoso de la región griega del norte del Peloponeso y quién mató a Héctor, príncipe troyano que se encargó de defender Troya durante la Guerra de Troya, decidió salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corría mucho más rápido que ella y estaba seguro de sus posibilidades de victoria, le dio una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorrió en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubrió que la tortuga ya no estaba, sino que había avanzado, más lentamente, una pequeña distancia. Sin desanimarse, siguió corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta había avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganaría la carrera, ya que la tortuga estaría siempre por delante de él”. 4 La historia es considerada una paradoja, debido a que contradice la realidad pues sabemos que un corredor veloz le ganará a uno lento, a pesar de una gran ventaja que le den a este último.