Una articulación de conceptos del álgebra lineal en un contexto abstracto de grupo de lie de matrices

Abstract

En este trabajo pretendemos hacer un estudio de ciertos grupos de matrices y analizar sus aspectos algebraicos, geométricos y analíticos. Se trata de grupos y subgrupos de matrices cuadradas inver- tibles GLn(R), llamado grupo lineal general. Es interesante la relación entre lo abstracto de grupo y lo lineal de sus elementos, ya que las matrices son objetos de linealizacion que por si misma posee propiedades lineales. Mas a un ellas son una representación, en dimensión fi nita, de un objeto mas general y uni ficador como es la transformacion lineal (ver [6] y [7]). En este caso una transformación lineal interesante para nuestro objetivo es la rotacion en el plano euclidiano en torno a un punto fijo, que por defi nicion involucra los cuadros geométrico y lineal. La descripción de esta transforma- cion lineal hace intervenir un angulo (de rotacion). Desde un punto de vista algebraico este angulo (medido en radianes) es un numero real que al sumarlo produce en las respectivas rotaciones, co- mo transformaciones lineales, una continuación una tras la otra (composición). Esta coherencia de estructura, por un lado la suma en R y por otro la composici on de rotaciones, es lo que se llama homomorfi smo. Desde un punto de vista geométrico, con el apoyo de una representación gr a ca de la rotación, se logra visualizar la armonía entre estas dos estructuras: suma y componer. Por otro lado, la propia idea intuitiva física de rotación es asociada a un movimiento continuo, es decir por ejemplo la rotación en plano euclidiano en torno a un punto jo en un angulo de =3 radianes comienza \sin detener" hasta terminar los =3 radianes de forma continua y no de 1 radian en 1 radian (discreto). Esta aproximación nos lleva a dar a este angulo un estatus de parámetro en R, que permite hacer un estudio analítico de la rotación en función de este parámetro real. La descripción de la rotación hace intervenir las funciones trigonométricas seno y coseno las cuales son analíticas y cuyas representaciones en serie de potencias (serie de Taylor) inducen una estructura analítica sobre la propia rotación. El termino lineal de esta representación en serie en torno al 0 (0 radian), que se llama linealizacion y que geometricamente es la recta tangente, aparece con una estructura de espacio vectorial. Este objeto geométrico/vectorial (recta tangente) y el grupo se relacionan muy estrechamente con el apoyo de una generalizacion de la exponencial de variable real a variables matriciales. En esto es importante la estructura topologica de R. El siguiente diagrama muestra la articulacion de los diferentes puntos de vista en torno a este tipo de grupos de Lie de matrices. Los puntos de vista geométrico, lineal y analítico aparecen inducidos en los grupos de matrices, relacionados entre ellos: geométrico/lineal por un lado y lineal/analítico por otro, siendo el lineal que hace el vinculo entre los otros dos. Desde una dimensión mas matemática, los dos primeros se insertan en la teoría de la geometría vectorial y los dos últimos en la teoría de la geometría diferencial. El vinculo local (a nivel de vecindades) entre estas dos teorías es la generalización de la exponencial. Esto forma parte de dos grandes teorías en matemática, por un lado álgebras de Lie y por otro grupos de Lie (ver [2]). En el presente trabajo solo hemos pretendido entregar una aproximacion a estas ideas y nociones utilizando dos grupos de Lie de matrices, siempre dentro del contexto del aprendizaje de la matemática y la articulación de los diferentes conceptos de los diferentes cuadros: geométrico, lineal, analítico.