Introducción a la geometría fractal

Abstract

La geometría siempre ha estado presente en nuestra evolución. Es así que se han formulado distintas teorías relativas a esta área de la ciencia. Pero sólo una a funcionado,aproximando de manera más coherente el mundo en el cual nos desenvolvemos a diario:esta es la geometría euclidiana. Esta geometría debe su nombre al célebre matemático griego Euclides, quien en su libro. Los elementos de Euclides" resume lo que los griegos ya conozcan de la matemática. La geometría euclidiana representa una buena aproximación y de hecho puede ser utilizada en muchas aplicaciones con una gran versatilidad. Sin embargo, muchos matemáticos trataron de levantar una aparente incoherencia que exista en el quinto postulado. Se armaba que esta admita una demostración en base a los otros postulados y las proposiciones que de estos se pueden deducir. Sin embargo, todos los intentos continuaron por descubrir dos tipos de geometrías que actualmente se conocen como la geometría a de Lobatchvski y la geometría a de Riemann. Las cuales inspiraron otro tipo de geometrias que la general son conocidas como geometrias no euclideanas. Con el transcurso del tiempo la matemática fue creciendo, las necesidades del saber y poder tener respuesta a todo, se fueron sustentando con la teoría de la relatividad de Albert Einstein(1905), que habla sobre la curvatura del espacio-tiempo, creando un nuevo horizonte y aplicaciones prácticas de las geometrias no euclidianas. Las perspectivas modernas dividen la teoría geométrica no euclideana en hiperbólica y elíptica. Dentro de la geometría no euclidiana encontramos la geometría hiperbólica, que,satisface solo 4 de los postulados de Euclides, y cuya curvatura es negativa. También tenemos la geometría a elíptica, que también satisface solo 4 postulados, pero con una curvatura positiva. A pesar de los grandes avances de la geometría a no euclideanas, en algún momento se observo que ni la geometría a euclidiana y ninguna otra podrá a establecer el estudio de la naturaleza, que sólo se puede estudiar las regularidades presentes en la naturaleza, más no sus irregularidades, es por esto que fue necesario trabajar con una geometría que las rigera; es as como Beno^ t Mandelbrot se pregunta lo siguiente ¿Por qué a menudo se describe la geometría a como algo fr ío y seco? Una de las razones es su incapacidad de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un arbol (Mandelbrot, 2006, p.15). Con lo anterior, surge la preocupaci ón por el estudio de este tipo de geometría, uno de los trabajos pioneros lo desarrolla Mandelbrot en su libro. La geometría de la naturaleza", explicando lo que pudo lograr con sus investigaciones en diferentes área y entregándole un nombre a esta nueva geometría, tal como lo expresa el mismo. concebí y desarrolle una nueva geometría de la naturaleza y empecé a usarla en una serie de campos. Permite describir muchas de las formas irregulares y fragmentadas que nos rodean . . . identicando una serie de formas que llamo fractales"( Mandelbrot, 2006, p.15). La razón para escribir esta monografía es introducir esta nueva geometría joven. Adem ás, al hacerlo se prioriza el hecho de hacerlo de una manera popular, y en consecuencia, se opta por una complejidad baja que no requiere de un gran conocimiento matemático para poder entenderla. Así mismo nuestra presentación se orienta a estudiantes que estén terminando la enseñanza media o esta comenzando la enseñanza superior. Para cumplir el objetivo de esta tesis, de mostrar al lector la geometría de la naturaleza, debemos identicar los lugares donde encontramos estas figuras y ver claramente sus características. Además, se considerará la teoría, revisando conjuntos fractales complejos que no se pueden encontrar f ácilmente, pero que son útiles para otras áreas no matemáticas. Finalmente, observaremos la relación que existe entre los fractales y el caos.