Teoría de Galois y ecuaciones algebraicas

Abstract

La resolución de ecuaciones polinomiales es un problema que ha inquietado al hombre desde tiempos muy antiguos: los egipcios tenían métodos para resolver ecuaciones simples, los babilonios desarrollaron métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluso algunos casos particulares de ecuaciones cúbicas, los griegos también se dedicaron a estos problemas pero solo lograron resolver casos particulares de ecuaciones cúbicas. Tuvieron que pasar varios siglos hasta que fue en el siglo XVI en el que Tartaglia aprendió un método general para resolver la ecuación cúbica, método que Cardano difundió, sin embargo, al parecer fue Scipione Ferro el primero en conocer un método para resolverla, aunque nunca lo publico. Luego Ferrari logro un método para resolver ecuaciones cuárticas, pero el problema de encontrar una fórmula para la ecuación de quinto grado seguía sin resolverse a pesar de que ya D’Alembert en 1746 y más tarde Gauss en 1799 habían demostrado el teorema fundamental del álgebra, que afirma que todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz. Por lo que el problema ahora no era saber si un polinomio con coeficientes reales o complejos tenía raíces o no, sino saber si estas se podían expresar en términos de los coeficientes mediante sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y radicales; problema que tuvo que esperar hasta el siglo XIX donde Abel demostró la imposibilidad de encontrar una fórmula general para ecuaciones de grado mayor o igual que cinco. Finalmente fue Galois quien nos da las condiciones necesarias y suficientes para la resolubilidad por radicales. Pero este problema no solo tiene una importancia histórica la cual puede ser motivacional a la hora de presentar el tema de las ecuaciones polinomiales tanto en la universidad como en enseñanza media sino también nos permitirá conocer distintas las maneras de pensar a la hora de enfrentar un problema y la comprensión de la necesidad de desarrollar conceptos e ideas para alcanzar dicho objetivo, desde maneras bastante sencillas como las usadas para resolver ecuaciones de primer o segundo grado a unas mucho más elaboradas como las herramientas de álgebra abstracta que son necesarias para demostrar la imposibilidad de resolver mediante sumas, multiplicaciones y radicales las ecuaciones de grado mayor o igual que cinco. Este texto no pretende estudiar detalladamente las estructuras de grupos, anillos y cuerpos sino más bien utilizar algunos elementos de estas para presentar la solución a los problemas mencionados anteriormente esperando puedan apreciar la belleza e importancia de dichas estructuras y del álgebra abstracta en general.