Métodos variacionales en ecuaciones diferenciales ordinarias

Abstract

La siguiente ecuación de primer grado, ax+b = 0 se puede resolver fácilmente suponiendo que x es una variable que asume valores reales y además, a y b son dos constantes que igualmente pertenecen a los reales. Pero por otro lado, dicho problema puede ser visto como la búsqueda de los valores en que la derivada de la función f(x) = a 2x2 + bx se anula. Aún más, podría ser planteado como la búsqueda de los valores de x que determinan un punto de máximo o de mímino o punto silla de esa función. Estos dos últimos procedimientos que requieren de un mayor dominio conceptual y procedimental, tienen la ventaja de que pueden generalizarse a otras situaciones en las cuales, tanto las variables como las constantes pueden ya no ser números reales. El ejemplo anterior representa, a grandes rasgos, la realidad que se da en el análisis funcional, pues si bien, existen procedimientos que son más comodos de utilizar al momento de resolver un determinado problema, nos encontramos con situaciones en las cuales ya no es factible aplicarlos, generando por tanto la necesidad de buscar otros, más generales, que permitan ampliar el conjunto de soluciones. Dentro de este contexto es que se enmarca la presente memoria, en la que se pretende estudiar los métodos variacionales aplicados a la búsqueda de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, realizando para ello un estudio de diversos conceptos, destacando entre ellos la integral de Lebesgue y los Espacios de Sobolev.