Los teoremas de la función implícita y de la función inversa

Abstract

Hablamos de una función implícita cuando tenemos una ecuación de la forma f(x; y) = 0, donde no se muestra claramente cómo despejar y en función de x ni x en función de y. Donde una ecuación explícita tiene la forma y = g(x) o x = h(y) Cualquiera de estas dos ecuaciones es preferible a la implícita puesto que siempre una ecuación explícita puede transformase en una implícita de manera trivial f(x; y) = y 􀀀 g(x)x 􀀀 h(y) según corresponda. Nuestra pregunta es ahora entonces: Cuándo es posible encontrar una función que describa explícitamente y en función de x o x en función de y en un entorno de (a; b)?. Justamente aquí radica la importancia de este teorema pues existe la posibilidad de calcular la diferencial en un punto (a; b) de una función sin conocerla explícitamente, lo que nos permitirá por ejemplo, obtener una evaluaci ón aproximada de la función en el punto. Además, este problema toma una forma más general cuando se considera un sistema de varias ecuaciones en las que intervienen varias variables, y nos preguntamos si se pueden resolver dichas ecuaciones para algunas de esas variables en función de las restantes variables. Para obtener una respuesta tenemos que, bajo condiciones bastantes generales, siempre existe una solución, la cual es proporcionada por el teorema de la función implícita con una descripción de las condiciones y ciertas conclusiones acerca de la solución. El estudio de las funciones implícitas no es sólo abstracto, de hecho, las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales ordinarias es una ecuación que relaciona las variables x e y de manera implícita. Ahora bien, el teorema de la Funcin Inversa está intrínsicamente conectado con el teorema anterior pues viene siendo un caso especial de él, puesto que el teorema de las funciones implícitas se presentan comúnmente como una forma de describir la noción de una función inversa, y como son tan importantes será también nuestro objeto de estudio. Para llevar a cabo nuestro objetivo y cumplir con lo anterior nos concentraremos en estudiar algunos contenidos insertos en los cursos de Análisis Matemático tales como: Topología en el espacio cartesiano, funciones, límites de funciones de varias variables y diferenciabilidad, los que son de gran ayuda para facilitar nuestro trabajo y de paso recordar los conocimientos previos que se debiesen tener.