Reglas de multiplicadores y en el teorema de Karush Kuhn Tucker

Abstract

Antes de comenzar formalmente a hablar de las condiciones del Teorema de Karush Kuhn Tucker, deseamos brindar al lector una breve reseña sobre aquellos matemáticos que dieron vida a este teorema. De esta manera, tenemos que a Albert Tucker, nacido en Canadá y destacado profesor de la Universidad de Princeton, y Harold Kuhn, quien trabajase desde la Universidad con Tucker sin dimensionar - quizás - la teoría que junto a W. Karush lograron realizar. Los importantes matemáticos mencionados anteriormente trabajaron en la teoría de programación no lineal, es de este modo que surge el teorema que lleva sus nombres. Este teorema se encuentra precedido por una importante herramienta en el campo de la optimización, en el cual nos podemos encontrar con problemas que necesiten resolverse mediante el Método de los Multiplicadores de Lagrange, como por ejemplo: Sea f(−!x ) : R3 −! R −!x 7−! f(−!x) = x + y + z Sujeto a las restricciones g0(−!x ) = x2 + y2 = 2, y g1(−!x ) = x + z = 1 Se sabe que para hacer uso del método de los Multiplicadores de Lagrange se tiene que encontrar los gradientes de f y de las restricciones, g0, g1. Este método nos indica que existirán 0, 1 2 R de tal forma que rf(−!x ) = 0 · rg0(−!x ) + 1 · rg1(−!x ) y resolviendo las ecuaciones encontradas de esta igualdad se puede concluir que los extremos o puntos donde la función alcanza su máximo son P1(0, p 2, 1); P2(0,−p2, 1). Cuando tenemos problemas de programación no lineal, el método de los Multiplicadores de Lagrange se extiende en el teorema de Karush Kuhn Tucker. Es por esto que nuestro Seminario abordará la temática de optimizacion, de forma particular estudiando el teorema de Karush - Kuhn - Tucker (KKT), que se utiliza para la localización de soluciones óptimas de problemas con restricciones. Además, durante el transcurso de este seminario procederemos a demostrarlo, de acuerdo con los Teoremas de Separación de Hanh Banach principalmente. Podemos comentar que entre las aplicaciones que se realizan de este teorema se encuentra su uso en los métodos estadísticos como el método del cordón de regresión que trata de ajustar una aplicación lineal a una nube de puntos, estableciendo la mínima distancia entre los puntos y la aplicación lineal de tal manera que la cantidad de elementos que no pertenezcan al recorrido de la aplicación sea extremadamente pequeña. Asimismo podemos mencionar el método de bioequivalencia, que se trata de la comparación de dos tratamientos que tienen similares características de absorción. Para proceder a dicho estudio es necesario contar con herramientas de cálculo diferencial (derivada direccional, primera variación seg´un Lagrange, derivada de Gateaux, derivada de Fréchet, ect), conceptos básicos de la teoría de optimización y reafirmar las nociones adquiridas en el desarrollo de los diversos cursos de análisis matemático realizados durante nuestro periodo formativo. Asimismo, necesitaremos conocer estrategias de resolución tales como el método del menor cuadrado. En el siguiente seminario pretendemos estudiar el teorema de KKT para proceder a su posterior demostración, para lograr una mejor asimilación de los conceptos que están implicados en él, que implica realizar un recuento sobre algunos tópicos de análisis y de álgebra lineal. Asimismo, la demostración de este teorema será de vital importancia para poder dimensionar su real importancia y su aplicabilidad en la resolución de problemas de optimización.