Elementos iniciales sobre variable compleja

Abstract

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que los Números Reales están contenidos en los números Complejos. Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Los números complejos son herramientas de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles. En este proyecto se presenta este mundo: expresión de los números complejos, su representación gráfica, operaciones, forma polar, raices n-esimas, la exponencial, conjunto de puntos en el plano, límite y continuidad, funciones análiticas. Los números complejos reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical. El término de número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i. Los números complejos se utilizaban en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente electrónica. La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología, entre otras). Al observar en las distintas áreas de la matemática como el álgebra, análisis, geometría y teoría de números se puede notar la presencia de los números complejos, es aquí en donde nace el propósito de querer estudiarlos, los motivos pueden ser diversos pero el pricipal radica en que durante el transcurso de la vida estudiantil los números complejos fueron estudiados de manera muy ligera y en ocasiones solo fueron una mención, es por este motivo que surge el interés de realizar un estudio un poco más profundo y acabadol de lo que llamamos números complejos. En general en esta tesis se tratarán los contenidos que se enunciaran a continuación, correspondientes a lo que son los números complejos. Se estudiará en primera instancia el plano complejo; dentro de este se estudiarán sus propiedades, la representación polar, las raices n-esimas, la definición de la función exponencial, los conjuntos de puntos en el plano. También se indagará en las funciones analíticas, abordando funciones de variables complejas, límite y continuidad, propiedades del límite, funciones analíticas, las funciones de Cauchy Riemann, funciones trugonimétricas hiperbólicas, la función logarítmica, la definición de zα y funciones trigonometricas inversas. Por último se estudiará la teoría de la integral, y dentro de esta se trataran los temas referidos a arcos y contornos, integrales de contorno, propiedades de las integrales, el teorema de Green, el teorema de Cauchy, integrales de contorno y primitivas, la fórmula integral de Cauchy, derivadas de orden superior y teorema de Morena, además de el teorema de Liouvilley las funciones armónicas en el ámbito complejo.