Estudio de la distribución de Hermite Bivariada

Abstract

En la teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que permite obtener probabilidad de ocurrencia. Las distribuciones más conocidas son la distribución Normal, distribución T-Student, distribución Binomial, distribución de Poisson, etc. Estas distribuciones son herramientas estadísticas que permiten modelar fenómenos reales, en los cuales se desee realizar un análisis estadísticos e inferencial. La distribución de Hermite resulta al sumar dos variables de Poisson (X1 y X2) dependientes, de la forma Y = X1+2X2. La distribución es flexible a la hora de modelar datos de conteo que presenten una multimodalidad, junto con presentar varios ceros, lo que se denomina cero inflación. Támbien permite modelar datos en los que la sobredispersión es moderada; esto es que la varianza es mayor a la esperanza. La distribución de Hermite para el caso en que n = 2 coincide con la distribución Binomial de Poisson (n: no de ocurrencias del evento o fenómeno). Recibe el nombre porque los matemáticos Kemp and Kemp la llamaron así, debido a que la función de probabilidad y la función generadora de momentos se pueden expresar en términos de los polinomios de Hermite modificados. En esta tesis realizaremos una investigación a la distribución de hermite bivariada, obtenida por kocherlakota (1988) a través de una variable de Poisson bivariada con parametros, de igual forma por Kemp y Papageorgio (1982) con un reparametrización. Fue A.G. McKendrick en 1926 , en applications of mathematics to medical problems quien public o por primera vez sobre la distribución de Hermite. Intentando explicar diversos métodos matemáticos que se pueden aplicar en investigaciones médicas. McKendrick demostró, lo que posteriormente seria llamado la distribución de Hermite, al sumar dos variables de Poisson dependientes. Como aplicación McKendrick modeló un experimento fagocítico (recuento de bacterias en leucocitos) a través de la distribución de Hermite, obteniendo un modelo mas satisfactorio que con la distribución de Poisson. C.D. Kemp y A.W. Kemp en 1965, quienes en "Some Properties of Hermite Distribution" introdujeron formalmente la distribución de Hermite. Esta investigación se concentra en el cálculo de la función de probabilidad, su relación con los polinomios de Hermite y la estimación de parámetros con el método de máxima verosimilitud. El estudio de la generalización de la distribución de Hermite lo hicieron Gupta y Jain en A Generalized Hermite Distribution and Its Properties".(1974) A C.D Kemp y H. Papageorgiou en 1982 estudiaron varias formas en la que la distribución de Hemite bivariada puede ser expresada por procesos de reparametrización. En 1983 H. Papageorgiou, C.D. Kemp. y S. Loukas publicaron en Biometrika: Some Methods of Estimation For the Bivariate Hermite Distribution" [4] donde exponen tres métodos de estimación: estimación por punto de equilibrio, por momentos y otra con frecuencia de cero.