Geometría no euclidiana

Abstract

A través de la revisión de la geometría euclidiana y con el surgimiento de las geometrías no eulicidanas, surge la necesidad de un tratamiento axiomático y riguroso de la geometría euclidiana, por lo que en este documento se realiza dicho tratamiento. Si nos remontamos a los inicios de la geometría, se puede apreciar que la noción de distancia fue unos de los primeros conceptos geométricos que el hombre descubrió. Como todo concepto, surge de las necesidades primarias del hombre, como por ejemplo las construcciones o limitar terrenos. La distancia más corta entre dos puntos es en este caso la longitud del segmento. Así también, debido a las observaciones el hombre surgen los conceptos más básicos de la geometría, como lo son las curvas, cuerpos y superficies, entre otros. Cuando el hombre fue capaz de extraer de relaciones geométricas concretas una relación abstracta general que contiene a la primera como un caso general, se puede decir que la geometría se volvió una ciencia. Entonces se crean procedimientos generales para resolver distintos problemas geométricos. Si los problemas pueden ser resueltos por el mismo procedimiento general, nos estamos refiriendo a una Ley Geométrica. Existe gran cantidad de material del pasado al cual podemos llamarle geometría práctica o científica. Existen registros muy antiguos del año 3000 a.C de los tiempos sumerios donde ya desarrollaban la geometría. Los primeros grandes avances en este campo fueron de parte los Babilónicos, donde se encuentran tablas con Geometría vinculada a la medición práctica. Los Babilónicos resolvieron variados problemas, principalmente áreas de figuras, como del rectángulo, triángulos rectángulos e isósceles, volúmenes de cuerpos como prismas rectos y también la relación del perímetro del círculo y su diámetro. Así también llegaron a algunas fórmulas incorrectas como el volumen de un cono o de una pirámide cuadrada truncada. Incluso tenían conocimiento del teorema de Pitágoras alrededor del año 2000 a.C. Sin embargo, cabe destacar, que toda esta matemática prehelénica (anterior a los Griegos), no encontramos casos de lo que hoy llamamos demostración lógica. Podemos hablar que utilizaron métodos de “tanteo”, o en otras palabras se puede hablar de un Empirismo, es decir, algo factible que se pueda comprobar con algo concreto. Es por esto que se habla de un Razonamiento Empírico o naturaleza Empírica de la matemática Prehelénica, la cual carece de demostración y no tiene una secuencia lógica. Pese a esto es impresionante la cantidad de problemas que pudieron resolver utilizando sus métodos empíricos. Luego de que cayeron el poder de Egipto y Babilonia por motivos económicos y políticos, el desarrollo de la geometría pasó a los Griegos. No se determinado con exactitud la conexión o la transmisión de una geometría a otra, pero más importante que esto es como se transformó dicha Geometría. Los Griegos transformaron la naturaleza empírica en una naturaleza deductiva, es decir, las conclusiones geométricas deben obtenerse por deducciones lógicas, y no por experimentos empíricos. Esto es lo que hoy llamamos Geometría sistemática o matemática. No existen fuentes primarias para el estudio de la geometría Griega antigua. La principal fuente de información acerca de esto es la llamada Sumario de Eudemo, de Proclo, el cual explica brevemente el desarrollo de la geometría griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides. Los primeros trabajos fueron los de Tales de Mileto, el cual aparece como fundador de la geometría sistemática y por utilizar métodos deductivos en la geometría. Posterior a Tales aparece Pitágoras, el cual continuó con la sistematización de la geometría. Es reconocido por funda la famosa Escuela Pitagórica donde se dedicó al estudio de la filosofía, matemática y ciencia natural. La escuela Pitagórica hizo grandes aportes a la geometría. Demostraron que la suma de los ángulos interiores de un triángulo equivale a dos ángulos rectos, desarrollaron una teoría de la proporción bastante completa, tenían conocimientos de al menos tres sólidos de poliédricos regulares. A pesar de que mucha de esta información ya era conocida por lo Babilónicos, lo que destaca es el uso del método deductivo. Más adelante empezaron a surgir cadenas de proposiciones y junto con esto la idea de que el desarrollo de la geometría se puede establecer en una sola cadena larga de proposiciones. Según el sumario de Eudemo, un pitagórico, Hipócrates de Chios tuvo un éxito parcial con una presentación lógica de la geometría como una cadena de proposiciones. Pero fue en el año 300 a.C que el matemático Euclides produjo el libro “los Elementos” que contiene esta cadena de proposiciones que comprende la Geometría plana y del Espacio. Entre los tiempo de Tales (600 a.C) y Euclides (300 a.C) se desarrolló la noción de un discurso lógico. Pues, para presentar un argumento debe existir un supuesto previo, y dicho supuesto previo debe deducirse de otro supuesto, y así sucesivamente. Por lo tanto es necesario que existan términos técnicos básicos con los cuales se construyan los demás supuestos. A esto se le denomina “axiomática material”, el cual sigue un cierto “Patrón de axiomática material”. Este Patrón consiste en primero dar explicaciones iniciales de ciertos términos y que se deben aceptar como verdaderos, a los cuales se les llama axiomas. Entonces todos los demás términos o proposiciones se deben deducir en base a estos conceptos básicos y la deducción debe ser Lógica. La Geometría Euclidiana es proveniente del matemático Euclides, el cual en su obra “Los Elementos” redacta los fundamentos de la Geometría en base a un desarrollo Lógico y sistemático. Ha servido como “molde” a los cuales se ajustan las posteriores obras matemáticas. Euclides es considerado más como una rama del saber que como un hombre, principalmente por su obra “Los Elementos”. En esta obra se ve claramente el uso de este Patrón de axiomática, se considera como el primer gran progreso en la historia del pensamiento y la organización matemática. Los Elementos fijaron una especie de estándar metodológico o nivel básico de exigencia tanto en lo referente a la sistematización deductiva de un cuerpo de conocimientos como en lo referente al rigor informal de la prueba matemática. También representaron una normalización de la exposición demostrativa de las proposiciones Geométricas. Estos dos aspectos, el metodológico y el disciplinario determinaron la instauración de la Geometría como disciplina matemática. Las bases de Euclides son las definiciones, los postulados y las nociones comunes, por lo que se puede considerar a la Geometría Euclidiana como una ciencia deductiva. Las deducciones lógicas deben ser independientes de cualquier significado que pudiere relacionarse con los conceptos, además se convierten en un procedimiento algebraico en el que solo se emplean símbolos y formulas. La geometría se reduce a un procedimiento estrictamente formal que es totalmente independiente de cualquier interpretación de los símbolos que intervienen. Se emplean 21 axiomas y 6 términos primitivos. En geometría plana se trabaja con 15 axiomas y 5 términos primitivos, los cuales son; punto, línea, en, entre y congruente. En: Relación entre punto y recta. Entre: Relación entre un punto y un par de puntos. Congruente: Relación entre pares de puntos y entre configuraciones llamadas ángulos. En esto 15 axiomas y 5 términos primitivos descansan la extensa materia de la geometría plana euclidiana. El esquema a desarrollar a continuación es métrico pues usa medición, es decir, una geometría con números reales. Aceptaremos los números reales como R.