Sucesiones y series de funciones en una variable

Abstract

La matemática es una disciplina creada por el ser humano, cuya construcción y desarrollo surge de la necesidad y el deseo de solucionar situaciones en diversos ámbitos (matemática, ciencias naturales, ciencias sociales, del arte y la tecnología, etc.), es por esto que el conocimiento matemático forma parte de la cultura de la sociedad1. Una de las evoluciones más importantes que ha sufrido esta disciplina es en el área del Cálculo In nitesimal (o simplemente Cálculo), lo que ha modi cado la perspectiva teórica de algunos temas en los diversos ejes temáticos2, pues éste precisa conceptos y métodos que se han estudiado durante siglos por distintos autores tales como Newton y Leibniz (quienes son considerados los precursores). El Cálculo estudia principalmente las funciones y los conceptos asociados como límites, derivadas, integrales, series in nitas, etc. En particular, a veces las funciones suelen ser obtenidas como límites de sucesiones de funciones o sumas de series de éstas que convergen (a la función) y son la solución de un problema especí co, por lo tanto una función sujeta a ciertas condiciones puede ser aproximada mediante un elemento de una sucesión o por la suma parcial de una serie. Es aquí donde indagaremos, en las sucesiones y series de funciones reales en una variable, su convergencia y los criterios asociados. Tener en cuenta qué es una sucesión y una serie de funciones resulta fundamental. A grandes rasgos una sucesión de funciones, tal como su nombre indica, es una secuencia cuyos elementos son funciones. Formalmente, se de ne como una aplicación que a cada número natural n hace corresponder una función fn. Suele recurrirse al símbolo ffng para denotar la sucesión de funciones dada por n ! fn para todo n2N. Supondremos en lo que sigue que las funciones fn son funciones reales de nidas en un intervalo I3. Ahora bien, a partir de una sucesión de funciones ffng podemos formar otra, cuyos términos se obtienen sumando consecutivamente los de ffng, la que denotamos por fsng, donde: s1 = f1, s2 = f1 + f2, s3 = f1 + f2 + f3, ::: y sn = f1 + f2 + ::: + fn En general, sn = Xn k=1 fk. La sucesión fsng así de nida se llama serie de término general fn y la representamos por el símbolo X1 n=1 fn.4 A lo largo de la historia han existido algunos personajes que han contribuido a la construcción de éste tópico, dentro de los más relevantes encontramos a: Isaac Newton (1642-1727). Matemático inglés. Considerado, al igual que Leibniz, fundador del Cálculo. Abordó el desarrollo de esta área a partir de la geometría analítica. En 1666 introdujo el concepto de uxiones , correspondiente a lo que hoy conocemos como derivadas, métodos de derivación e integración (regla de la cadena y método de sustitución). También desarrolló la propiedad de linealidad y construyó tablas de derivadas e integrales. Además estudió la resolución de ecuaciones diferenciales empleando sólo algunas funciones de casos particulares. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Matemático alemán. Comparte con Newton la creación del Cálculo. Algunos aportes al Cálculo son: la notación que utilizamos hasta nuestros días, la regla del producto y el llamado Criterio de Leibniz para la convergencia de series numéricas alternadas. Augustín Louis Cauchy (1789- 1857). Matemático francés. Desarrolla la teoría de funciones continuas luego de los trabajos realizados por el matemático checo Bernhard Bolzano el cual de ne explícitamente el concepto de continuidad de una función. Dentro de las obras de Cauchy encontramos Cursos de análisis (1821), Resumen de lecciones sobre el cálculo in nitesimal (1822) y Lecciones sobre el Cálculo Diferencial (1829). Niels Henrik Abel (1802-1829). Matemático noruego. Dentro de sus mayores aportes se encuentra la prueba de la imposibilidad de la ecuación quíntica 5 mediante radicales, además, desarrolló la teoría de las integrales elípticas estudiando sus funciones inversas y dio precisión al contexto de las series in nitas, siendo ésta su contribución más decisiva en el análisis. Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). Matemático alemán. Aportó a la matemática principalmente en el área del cálculo, hizo referencia al campo de la teoría de los números, estudiando las series y desarrollando la teoría de las Series de Fourier. También aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series y para el área del cálculo mejoró la de nición y el concepto de función. Karl Weierstrass (1815-1897). Matemático alemán. Bajo la in uencia de Christof Guderman, se introdujo en la teoría de las Series de Potencias. En 1841 publicó un ensayo sobre funciones elípticas. Dió las de niciones de continuidad, límite y derivada de una función (que conocemos hasta hoy), con lo cual logró demostrar el teorema del valor medio, entre otros y además realizó aportes en cuanto a la convergencia de series. Frederick Winslow Taylor (1856-1915). Ingeniero estadounidense. Se dedicó a trabajar como obrero, luego de dejar la carrera de derecho, donde optimizó las labores de los obreros en función del tiempo de producción; descomponiendo el trabajo en tareas simples, y cronometradas exigentemente. Se convirtió en ingeniero realizando cursos nocturnos. Su principal aporte al Cálculo es la llamada Serie de Taylor.