Bases de Gröbner y aplicaciones a sistemas de ecuaciones polinomiales

Abstract

En ciertas ocasiones, la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales pueden conllevar más allá del tiempo esperado para su resolución, como lo puede ser en el caso del siguiente ejemplo: x2 + 2y2 = 2 x2 + xy + y2 = 2 Para la resolución del sistema de ecuaciones que se presenta se necesita tener un conocimiento de los conceptos primordiales del algebra abstracta, debido a que se le puede dar solución a estos casos mediante la utilización de Bases de Grobner. Las bases de Grobner tiene como finalidad analizar el sistema de polinomios con más de una indeterminada a través de los conjuntos ideales al que pertenezcan estos polinomios, estas bases contendrán los divisores de los polinomios de un conjunto, de tal manera que todos y cada uno de los polinomios del conjunto se pueden dividir por los polinomios. Con este trabajo ya realizado, nuestro problema de sistema de ecuaciones polinomiales puede ser resuelto con mayor facilidad, puesto que, se puede reestructurar dicho sistema de ecuaciones con las ecuaciones que se obtuvieron en nuestra base de Grobner. El estudio de las bases de Grobner es relativamente nuevo, su invención data de aproximadamente 1966, fue ahí cuando Bruno Buchberger cuando hizo lectura de su tesis \Encontrando una base del espacio vectorial cociente para el anillo de clases, módulo un ideal de polinomios cero dimensional", escrito originalmente en alemán, enunció esta directriz de estudio del _algebra abstracta, que fue nombrado as__ por quien fuese su profesor que lo dirigía, Wolfgang Grobner. El desarrollo de este tipo de ejercicios guarda un estrecho vínculo con ciertos contenidos que indica el Curriculum de matemática en primer año de la Enseñanza Media, específicamente con el objetivo de desarrollar los productos notables, perteneciente al eje de Números, y de resolver sistemas de ecuaciones de 2x2. Con el primer objetivo se ve relacionado en el sentido de poder realizar la división de polinomios multivariables para reducir los términos, mientas que con el segundo guarda una relación más estrecha por ser la finalidad con la cual se estudiara las bases de Grobner.