Teoría de módulos, forma canónica racional y de Jordan

Abstract

Una de las finalidades de esta monografía, es el estudio del ´algebra lineal de forma más avanzada, particularmente, enfatizaremos el estudio de temas directamente relacionados con los espacios vectoriales y módulos. En este trabajo se definirán algunas estructuras que nos permitirán entender de mejor forma el papel que toman las estructuras de modulo y de anillos. Históricamente el uso de módulos fue iniciado por una de las maten áticas más prominentes de la primera parte del siglo XX, Emmy Noether, quien se abrió camino para demostrar el poder y elegancia que posee esta estructura. Dentro de este estudio, podremos observar que los espacios vectoriales, son un caso particular de módulos, los cuales surgen cuando un anillo subyacente es un cuerpo. La definición de un R - modulo es similar a la definición de una acción de grupo, donde un anillo R cumple el papel del grupo y el modulo M el papel del conjunto. Este trabajo tiene un interés teórico, de forma que el lector tenga la oportunidad de poder fortalecer su formación matemática y comprensión de algunos conceptos los cuales muchas veces no son tan simples de entender en los cursos de pregrados o simplemente no se profundiza tanto en algunos que son claves para el desarrollo de una buena formación. El estudio de valores y vectores propios, es un tema con gran cantidad de aplicaciones y se estudia de manera no tan profunda en los cursos de álgebra lineal, para estos conceptos, profundizaremos tanto de forma teórica como práctica, pues los valores y vectores propios nos sirven para entender de manera más profunda las transformaciones lineales. Otro tema de gran interés, son las formas canónicas de Jordan y como estas nos ayudan a relacionar las matrices con su polinomio característico (y mi- nimal) y viceversa, donde estos nos pueden ayudar a entender resultados de interés teórico, donde el polinomio característico nos puede entregar bastante información sobre el objeto de estudio. Para esto, podemos tomar un caso particular donde el anillo R es F[x] de los polinomios con coeficientes en un cuerpo F. Luego tomamos un espacio vectorial V de dimensión finita sobre F de dimensión n y sea T una transformación lineal fija de V. Podemos considerar V como un F[x] - modulo, donde sus elementos actúan sobre V como la transformación lineal T. Del teorema Fundamental podemos decir que V es isomorfo como un F[x] - modulo a la suma directa de módulos cíclicos. Esta descomposición de V nos permitir ‘a elegir una base para V respecto a la cual la representación matricial para la transformación lineal T se encuentra en una forma simple especifica. Cuando usamos los factores invariantes de V para su descomposición, obtenemos la forma canónica racional para la matriz de T, la cual es casi como una matriz diagonal. La parte de unicidad del Teorema Fundamental garantiza que las formas canónicas racional y de Jordan son únicas. Así es como estudiaremos la ya nombrada forma canónica de Jordan y veremos algunas de sus aplicaciones como lo son la antes mencionada relación con matrices y sus polinomios característicos.