Algunas ecuaciones diofánticas

Abstract

Las Ecuaciones Diofánticas, reciben su nombre gracias al matemático griego Diofanto de Ale- jandría quien vivió entre los años 200/214 a 284/298, dato que no se sabe con exactitud. Este matemático fue considerado el padre del álgebra, aunque es más conocido por su trabajo en ar- itmética relacionado con la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de los números, más información respecto de su vida no se maneja mucha. Diofanto escribió "La Aritmética"distribuidos en trece libros dedicados a la resolución de ecua- ciones algebraicas, buscando de esta manera dar métodos para encontrar sus soluciones enteras o racionales a estas, cabe mencionar que de los 13 libros sólo se conocen los seis primeros. El contenido de estos libros consiste en una colección de problemas, en todos estos el matemático griego presenta una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados, de igual forma, no existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución. Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son: ¿Qué números son suma de dos números al cuadrado? ¿Qué números son suma de tres números al cubo?. Estas ecuaciones son las que tanto sus coeficientes como sus soluciones se encuentran en el conjunto de los números enteros; su clasificación viene de la mano con el número de incógnitas y el grado que estas contemplen. Algunas de estas ecuaciones son: La ecuación Pitagórica, en la cual nuestro objetivo principal es saber si existe alguna fórmula general que nos permita conocer todos los trios que son solución de la ecuación x2 + y2 = z2 Las Ecuaciones y Curvas Elípticas, sobre un cuerpo K son en general expresiones del siguiente tipo: y2 = x3 + ax2 + bx + c Con a, b, c ϵ K. Si el cuerpo K = Q, entonces estamos en el caso racional. La forma de las solu- ciones de la ecuación elíptica tiene su origen en la fórmula general de la ecuación cuadrática y su discriminante es también muy similar. Además analizaremos El Teorema de Fermat, el que afirma que la expresión xn + yn = zn con x, y, z ϵ Z y n ϵ N no tiene solución para n > 2. Durante más de 350 años fueron mu- chos los intentos de demostración de la conjetura de Fermat, interviniendo en el estudio del problema tanto matemáticos de la talla de Euler, Dirichlet, Legendre, Gauss o Kummer, como otros menos conocidos. Todos ellos, en un esfuerzo épico en la historia de la Matemática, in- tentaron la prueba del enunciado para ciertas condiciones parciales, para ciertos exponentes n de la ecuación diofántica. Para algunos de estos exponentes se logró el propósito, pero la demostración general de esta proposición permanecería fatalmente inalcanzable a los esfuerzos de la comunidad matemática. Hasta que a mediado de los años 90, el matemático inglés, profe- sor en Princenton, Andrew John Wiles consistió, en definitiva, en estudiar a fondo la conjetura de Taniyama-Shimura y tratar de dar con una demostración de su falsedad. Las Ecuaciones Diofánticas, reciben su nombre gracias al matemático griego Diofanto de Ale- jandría quien vivió entre los años 200/214 a 284/298, dato que no se sabe con exactitud. Este matemático fue considerado el padre del álgebra, aunque es más conocido por su trabajo en ar- itmética relacionado con la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de los números, más información respecto de su vida no se maneja mucha. Diofanto escribió "La Aritmética"distribuidos en trece libros dedicados a la resolución de ecua- ciones algebraicas, buscando de esta manera dar métodos para encontrar sus soluciones enteras o racionales a estas, cabe mencionar que de los 13 libros sólo se conocen los seis primeros. El contenido de estos libros consiste en una colección de problemas, en todos estos el matemático griego presenta una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados, de igual forma, no existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución. Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son: ¿Qué números son suma de dos números al cuadrado? ¿Qué números son suma de tres números al cubo?. Estas ecuaciones son las que tanto sus coeficientes como sus soluciones se encuentran en el conjunto de los números enteros; su clasificación viene de la mano con el número de incógnitas y el grado que estas contemplen. Algunas de estas ecuaciones son: La ecuación Pitagórica, en la cual nuestro objetivo principal es saber si existe alguna fórmula general que nos permita conocer todos los trios que son solución de la ecuación x2 + y2 = z2 Las Ecuaciones y Curvas Elípticas, sobre un cuerpo K son en general expresiones del siguiente tipo: y2 = x3 + ax2 + bx + c Con a, b, c ϵ K. Si el cuerpo K = Q, entonces estamos en el caso racional. La forma de las solu- ciones de la ecuación elíptica tiene su origen en la fórmula general de la ecuación cuadrática y su discriminante es también muy similar. Además analizaremos El Teorema de Fermat, el que afirma que la expresión xn + yn = zn con x, y, z ϵ Z y n ϵ N no tiene solución para n > 2. Durante más de 350 años fueron mu- chos los intentos de demostración de la conjetura de Fermat, interviniendo en el estudio del problema tanto matemáticos de la talla de Euler, Dirichlet, Legendre, Gauss o Kummer, como otros menos conocidos. Todos ellos, en un esfuerzo épico en la historia de la Matemática, in- tentaron la prueba del enunciado para ciertas condiciones parciales, para ciertos exponentes n de la ecuación diofántica. Para algunos de estos exponentes se logró el propósito, pero la demostración general de esta proposición permanecería fatalmente inalcanzable a los esfuerzos de la comunidad matemática. Hasta que a mediado de los años 90, el matemático inglés, profe- sor en Princenton, Andrew John Wiles consistió, en definitiva, en estudiar a fondo la conjetura de Taniyama-Shimura y tratar de dar con una demostración de su falsedadLas Ecuaciones Diofánticas, reciben su nombre gracias al matemático griego Diofanto de Ale- jandría quien vivió entre los años 200/214 a 284/298, dato que no se sabe con exactitud. Este matemático fue considerado el padre del álgebra, aunque es más conocido por su trabajo en ar- itmética relacionado con la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de los números, más información respecto de su vida no se maneja mucha. Diofanto escribió "La Aritmética"distribuidos en trece libros dedicados a la resolución de ecua- ciones algebraicas, buscando de esta manera dar métodos para encontrar sus soluciones enteras o racionales a estas, cabe mencionar que de los 13 libros sólo se conocen los seis primeros. El contenido de estos libros consiste en una colección de problemas, en todos estos el matemático griego presenta una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados, de igual forma, no existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución. Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son: ¿Qué números son suma de dos números al cuadrado? ¿Qué números son suma de tres números al cubo?. Estas ecuaciones son las que tanto sus coeficientes como sus soluciones se encuentran en el conjunto de los números enteros; su clasificación viene de la mano con el número de incógnitas y el grado que estas contemplen. Algunas de estas ecuaciones son: La ecuación Pitagórica, en la cual nuestro objetivo principal es saber si existe alguna fórmula general que nos permita conocer todos los trios que son solución de la ecuación x2 + y2 = z2 Las Ecuaciones y Curvas Elípticas, sobre un cuerpo K son en general expresiones del siguiente tipo: y2 = x3 + ax2 + bx + c Con a, b, c ϵ K. Si el cuerpo K = Q, entonces estamos en el caso racional. La forma de las solu- ciones de la ecuación elíptica tiene su origen en la fórmula general de la ecuación cuadrática y su discriminante es también muy similar. Además analizaremos El Teorema de Fermat, el que afirma que la expresión xn + yn = zn con x, y, z ϵ Z y n ϵ N no tiene solución para n > 2. Durante más de 350 años fueron mu- chos los intentos de demostración de la conjetura de Fermat, interviniendo en el estudio del problema tanto matemáticos de la talla de Euler, Dirichlet, Legendre, Gauss o Kummer, como otros menos conocidos. Todos ellos, en un esfuerzo épico en la historia de la Matemática, in- tentaron la prueba del enunciado para ciertas condiciones parciales, para ciertos exponentes n de la ecuación diofántica. Para algunos de estos exponentes se logró el propósito, pero la demostración general de esta proposición permanecería fatalmente inalcanzable a los esfuerzos de la comunidad matemática. Hasta que a mediado de los años 90, el matemático inglés, profe- sor en Princenton, Andrew John Wiles consistió, en definitiva, en estudiar a fondo la conjetura de Taniyama-Shimura y tratar de dar con una demostración de su falsedad. Entre los años 1986 y 1993, desarrollando un aparato matemático de gran complejidad, A. Wiles se dedicó al estudio de la Conjetura de Taniyama-Shimura, hasta comunicar a la comunidad científica, en 1993, que habia logrado la prueba. Un análisis detallado del trabajo presentado por Wiles descubrió un fallo sustancial en la argumentación, que le hizo revisarlo con la ayuda de su discípulo Richard Taylor, revisión que le costó un año de trabajo. Finalmente, en 1994, la prueba de AndrewWiles del Teorema de Fermat, fue aceptada. Este texto no pretende estudiar todas las Ecuaciones Diofánticas existentes, sino más bien mostrar la solución de algunos de los diversos tipos de Ecuaciones Diofánticas que se conocen; este trabajo se llevará a cabo con la utilización de las herramientas de la Teoría de Números, entre las cuales podemos destacar divisibilidad, congruencias, entre otras.