Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales

Abstract

En el algebra lineal, uno de los objetivos principales es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Su importancia se debe a que diferentes problemas en ingenier a y modelos matem aticos se reducen a resolver un sistema de este tipo. Comunmente, en la resoluci on de estos sistemas de ecuaciones, se utilizan matrices, una herramienta fundamental para realizar c alculos en el algebra lineal. En este caso el problema es el siguiente: dados una matriz A 2Mm n(R) (llamada matriz de coe cientes) y un vector b 2 Rm (llamado vector de t erminos independientes), se desea saber si existe al menos un vector x 2 Rn (llamado vector de inc ognitas), tales que Ax = b: (1) Asociados al sistema (1), hay varias preguntas: 1. Existe al menos un vector x tal que (1) sea v alida? 2. Si existe el vector x, cu antos hay? 3. Si existe un unico vector x, c omo lo calculamos? 4. Bajo qu e condiciones sobre la matriz A el sistema tiene soluci on? En la presente actividad de titulaci on, nos concentraremos en la tercera pregunta: el estudio de algunos m etodos para calcular el vector x m as especi camente, dichos m etodos calculan en general una aproximaci on del vector x, llamado soluci on del sistema (1). Consideramos adem as el caso donde m = n. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales existen dos grandes familias de m etodos. Est an los m etodos directos y los m etodos iterativos. Estos ultimos son m as adecuados cuando trabajamos con matrices de gran tama~no y que muchas veces son esparsas, entendiendo por matrices esparsas, aquellas matrices que tienen una gran cantidad de entradas nulas. Los cursos de algebra lineal, se centran, en su mayor a, en el estudio de los m etodos directos para la resoluci on del sistema (1), como el m etodo de eliminaci on de Gauss que consiste en la reducci on de la matriz A a su forma escalonada. Sin embargo, quedarse con el estudio de solo estos m etodos, considerando que la resoluci on de sistemas de ecuaciones tiene una gran cantidad de aplicaciones en las que la matriz A tiene caracter sticas que hacen dif cil el uso de los m etodos directos, nos parece un poco limitado. Por esta raz on creemos que es interesante ampliar el estudio a los m etodos iterativos para resolver sitemas lineales.